圏, 関手, 自然変換 - ushumpei’s blog

圏論の定義メモ

Def.圏(category)

圏 $C$ は次のデータからなります；

対象(objects)
- $A$ , $B$ , $C$ ...
射(arrows)
- $f$ , $g$ , $h$ ...
ドメイン(domain), コドメイン(codomain)
- 任意の射 $f$ に対し, 対象 $dom(f)$ , $cod(f)$ が定まる. この時 $f : A \rightarrow B$ と表す. （ただし $A = dom(f)$ 、 $B = cod(f)$ ）
合成(composite)
- 任意の射 $f : A \rightarrow B$ 、 $g: B \rightarrow C$ に対し、 $h = f \circ g: A \rightarrow C$ という射が定まる.
恒等射(identity arrow)
- 任意の対象 $A$ に対し, $1_A$ という射が定まる.

これらのデータは次の法則を満たします；

結合律(associativity)：
- 任意の射 $f$ , $g$ , $h$ で $cod(f) = dom(g)$ , $cod(g) = dom(h)$ を満たすものに対し, $h \circ (g \circ f) = (h \circ g ) \circ f$ が成り立つ.
恒等律(unit)：
- 任意の射 $f: A \rightarrow B$ に対し, $f \circ 1_A = f = 1_B \circ f$

Def.関手(functor)

圏 $C$ , $D$ に対し, 関手 $F : C \rightarrow D$ とは, 圏 $C$ の対象を圏 $D$ の対象に, 圏 $C$ の射を圏 $D$ の射に写すもので, 次を満たします；

$F(f : A \rightarrow B) = F(f) : F(A) \rightarrow F(B)$
$F(1_A) = 1_F(A)$
$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$

Def.自然変換(natural transformation)

圏 $C$ , $D$ , 関手 $F, G : C \rightarrow D$ に対し, 自然変換 $\eta : F \rightarrow G$ とは, 圏 $C$ の任意の対象 $A$ に対し, 圏 $D$ の射 $\eta_A: F(A) \rightarrow G(A)$ を与えるもので, 次を満たします；

圏 $C$ の任意の射 $f: C \rightarrow \acute{C}$ に対し, $\eta_{\acute{C}} \circ F(f) = G(f) \circ \eta_C$ が成り立つ.

感想

だからどうしたという感じですよね。写像だ、とか集合だ、とか限定すると間違ってしまうためぼんやりした定義になってしまいます。はてなの所為なのか可換図式書けませんでした...